乘方,如何笔算乘方

认真看一下，所有法则都在这里了，am表示a的m次方，其它类推~~~ 同底数幂的乘法公式和法则 （1）公式： am·an=am+n(m、n都是正整数) am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数） （2）法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注意：Ⅰ.在此公式中，底数a可代表数字，字母也可以是一个代数式. Ⅱ.此公式相乘的幂必须底数相同，若不相同，需进行调整，化为同底数，才可用公式. 1.幂的乘方的公式及法则 （1）公式： (am)n=amn(m、n都是正整数) 〔(am)n〕p=amnp(m、n、p都是正整数) （2）法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2.积的乘方的公式和法则 （1）公式 (ab)n=an·bn(n是正整数) (abc)n=an·bn·cn（n是正整数） （2）法则 积的乘方等于每一个因数乘方的积. 上述两个公式，在很多情况下都会用到逆运算，即：amn=(am)n=(an)m(m、n为正整数) an·bn=(ab)n（n是正整数） 如：912=(93)4=(94)3 310×510=(3×5)10=1510 3.球的体积与半径的倍数关系 （1）如果一个球的半径扩大n倍，则它的体积扩大n3倍. （2）如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍 1.同底数幂的除法公式和法则 （1）公式： am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数，m>n) (2)法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 注意：满足公式成立的条件. 2.零指数与负指数 规定：a0=1(a≠0) a-p= (a≠0,p是正整数) 说明：当有了上述两个规定后，也就是说幂的指数可以为0或负数，因此“同底数幂的除法”公式中，am-n中“m-n”可以为正数、负数或0，所以“m>n”的条件也可消去. .单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 如：(2a2)·(3a)=(2×3)(a2·a)=6a3 注意啦！Ⅰ.单项式乘单项式的结果仍是单项式. Ⅱ.凡是在单项式中出现过的字母在结果里应该全有，不要漏掉因式. Ⅲ.结果的次数应等于两个单项式的次数之和. 2.单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 注意：Ⅰ.单项式乘多项式，多项式有几项（没有同类项），结果就有几项. Ⅱ.主要依据的就是乘法的分配律，一定要保证单项式与多项式的每一项都相乘，要注意每一项乘积的符号. 3.多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加. 你要知道的：Ⅰ.多项式乘多项式，积仍是多项式，且积的项数小于或等于两个多项式项数的积. Ⅱ.乘的过程中，不要漏掉，注意每项的符号. 1.平方差公式 （1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. (2)特征： ①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. （3）找a与b的简便方法 由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)〔a+(-b)〕，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方. 因此，运用平方差公式进行运算,关键是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.

乘方是指将某个量或符号提升到任意指定次幂或对它施加一个指定指数的行为或过程；或n 个 a 相乘的积称为 a 的 n 次幂。
在a^n中，相同的乘数a叫做底数，a的个数n叫做指数(exponent)，乘方运算的结果a^n叫做幂。a^n读作a的n次方，如果把a^n看作乘方的结果，则读作a的n次幂。a的二次方（或a的二次幂）也可以读作a的平方；a的三次方（或a的三次幂）也可以读作a的立方。
如果2的3次方（也可以是2的立方），它就等于2x2x2=8，那么指数是多少就是多少个底数相乘，指数是1通常不写。
每一个自然数都可以看作这个数的一次方，也叫作一次幂。如：8可以看作8^1。当指数是1时，通常省略不写。
运算顺序：先括号，再乘方，接乘除，尾加减。
计算一个数的小数次方，如果那个小数是有理数，就把它化为p/q（即分数）的形式，那么任何一个数n的
/q次方就等于n的p次方再开q次根号。
特别地，0^n=0（n﹥0）n^0=1（n≠0）

乘方的概念

一．乘方的意义、各部分名称及读写
　　求n个相同乘数乘积的运算叫做乘方。乘方算是一个三级运算。
　　在a^n中，相同的乘数a叫做底数，a的个数n叫做指数，乘方运算的结果a^n叫做幂。a^n读作a的n次方，如果把a^n看作乘方的结果，则读作a的n次幂。a的二次方（或a的二次幂）也可以读作a的平方；a的三次方（或a的三次幂）也可以读作a的立方。
　　每一个自然数都可以看作这个数的一次方，也叫作一次幂。如：8可以看作8^1。当指数是1时，通常省略不写。
运算顺序：先算乘方，后算乘除，最后算加减。
1．相同乘数相乘的积用乘方表示
2．根据乘方的意义计算出答案
1）9^4； 2）0^6。
9^4=9×9×9×9=6561
0^6=0×0×0×0×0×0=0
可以看出0^n=0
4．区别易混的概念
　1）8^3与8×3； 　　2) 5×2与5^2； 3）4×5^2与（4×5）^2。

同底数幂的乘、除法法则

同底数幂的乘法法则：
　　同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。用字母表示为：
　　a^m×a^n＝a^(m+n) 或 　a^m÷a^n＝a^(m－n) （m、n均为自然数）
1）15^2×15^3； 2）3^2×3^4×3^8； 3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90
1）15^2×15^3=15^(2+3)=15^5
2）3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14
3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095

幂的乘方法则

　　a^m又叫做幂，如果把a^m看作是底数，那么它的n次方就可以表示为（a^m）^n。这就叫做幂的乘方。我们先来计算（a^3）^4。
　　把a3看作是底数，根据乘方的意义和同底数的幂的乘法法则可以得出：
　　（a^3）^4＝a^3×a^3×a^3×a^3＝a^(3＋3＋3＋3)＝a^(3×4)＝a^12 　即：（a^3）^4＝a^(3×4)
　　同样，（a^2）^5＝a^2×a^2×a^2×a^2×a^2＝a^(2＋2＋2＋2＋2)＝a^(2×5)＝a^10 即：（a^2）^5＝a^(2×5)
　　由以上例子可知，幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为：（a^m）^n＝a^(m×n)
（x^4）^2； （a^2）^4×（a^3）^5
(x^4)^2=x^(4×2)=x^8
(a^2)^4×(a^3)^5=a^(2×4)×a^(3×5)=a^8×a^15=a^(8+15)=a^23

积的乘方

　　积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为：（a×b）^n＝a^n×b^n
　　这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如：
　　 （a×b×c）^n＝a^n×b^n×c^n

平方差公式

两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。用字母表示为：
　　 （a＋b）×（a－b）＝a^2－b^2
　　这个公式叫做平方差公式。利用这个公式，可以使一些计算变得简便。
例 用简便方法计算104×96。
解：原式＝（100＋4）×（100－4）＝100^2－42＝10000－16＝9984

完全平方公式

　　两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2倍。用字母表示为：
　 　（a＋b）^2＝a^2＋2ab＋b^2　　（a－b）^2＝a^2－2ab＋b^2
上面这两个公式叫做完全平方公式。应用完全平方公式，可以使一些乘方计算变得简便。
例 计算下面各题：　1）105^2； 2）196^2。
1）105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10000+1000+25=11025
2）196^2=(200-4)^2=200^2-2×100×4+4^2=40000-800+16=39216

平方数的速算

　　有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。
　　1．求由n个1组成的数的平方
　　我们观察下面的例子。
　　1^2=1
　　11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
……
　　由以上例子可以看出这样一个规律；求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：
11…1^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321
n个1
　　注意：其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。
　　2．由n个3组成的数的平方
　　我们仍观察具体实例：
　　3^2=9
33^2=1089
333^2=110889
3333^2=11108889
33333^2=111108889
　　由此可知：
　　33…3^2 = 11…11 0 88…88 9
n个3 (n-1)个1 (n-2)个8
　　3．个位数字是5的数的平方
　　把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成；（10a＋5）^2的形式。根据完全平方式推导；
　　（10a＋5）^2＝（10a）^2＋2×10a×5＋5^2
　　＝100a^2＋100a＋25
　　＝100a×（a＋1）＋25
　　＝a×（a＋1）×100＋25
　　由此可知：个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。
例 计算 1）45^2； 2）115^2。
解：1）原式＝4×（4＋1）×100＋25 2）原式＝11×（11＋1）×100＋25
　　 ＝2000＋25 ＝11×12×100＋25
　　 ＝2025 ＝13200＋25
　　 ＝13225
　　4．同指数幂的乘法
　　a^2×b^2是同指数的幂相乘，可以写成下面形式：
　　a^2×b^2＝a×a×b×b＝（a×b）×（a×b）＝（a×b）^2
　　由此可知：同指数幂的乘法，等于底数的乘积做底数，指数不变。根据这个法则可以使计算简便。如：　　2^2×5^2＝（2×5）^2＝10^2＝100
　　2^3×5^3＝（2×5）^3＝10^3＝1000 　2^4×5^4＝（2×5）^4＝10^4＝10000
　　根据上面算式，可以得出这样一个结论

-2 ³ = -(2 ³ )=-8
（-3）²=(-3)*(-3)=9
即，-8-9=-17
同底数幂的乘法公式和法则

（1）公式：

am·an=am+n(m、n都是正整数)

am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）

（2）法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

注意：Ⅰ.在此公式中，底数a可代表数字，字母也可以是一个代数式.

Ⅱ.此公式相乘的幂必须底数相同，若不相同，需进行调整，化为同底数，才可用公式.

1.幂的乘方的公式及法则

（1）公式：

(am)n=amn(m、n都是正整数)

〔(am)n〕p=amnp(m、n、p都是正整数)

（2）法则

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

2.积的乘方的公式和法则

（1）公式

(ab)n=an·bn(n是正整数)

(abc)n=an·bn·cn（n是正整数）

（2）法则

积的乘方等于每一个因数乘方的积.

上述两个公式，在很多情况下都会用到逆运算，即：amn=(am)n=(an)m(m、n为正整数)

an·bn=(ab)n（n是正整数）

如：912=(93)4=(94)3

310×510=(3×5)10=1510

3.球的体积与半径的倍数关系

（1）如果一个球的半径扩大n倍，则它的体积扩大n3倍.

（2）如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍
1.同底数幂的除法公式和法则

（1）公式：

am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数，m>n)

(2)法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

注意：满足公式成立的条件.

2.零指数与负指数

规定：a0=1(a≠0)

a-p= (a≠0,p是正整数)

说明：当有了上述两个规定后，也就是说幂的指数可以为0或负数，因此“同底数幂的除法”公式中，am-n中“m-n”可以为正数、负数或0，所以“m>n”的条件也可消去.

.单项式乘单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.

如：(2a2)·(3a)=(2×3)(a2·a)=6a3

注意啦！Ⅰ.单项式乘单项式的结果仍是单项式.

Ⅱ.凡是在单项式中出现过的字母在结果里应该全有，不要漏掉因式.

Ⅲ.结果的次数应等于两个单项式的次数之和.

2.单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

注意：Ⅰ.单项式乘多项式，多项式有几项（没有同类项），结果就有几项.

Ⅱ.主要依据的就是乘法的分配律，一定要保证单项式与多项式的每一项都相乘，要注意每一项乘积的符号.

3.多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加.

你要知道的：Ⅰ.多项式乘多项式，积仍是多项式，且积的项数小于或等于两个多项式项数的积.

Ⅱ.乘的过程中，不要漏掉，注意每项的符号.
1.平方差公式 （1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

(2)特征：

①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.

②右边：这两数的平方差.

（3）找a与b的简便方法

由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)〔a+(-b)〕，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方.

因此，运用平方差公式进行运算,关键是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.