那些艺术里的数学之美
文/陈墨祎
01
我要是指着一幅画说美，很多人会点头，但我要是指着一堆数字方程说美，估计大部分人就得摇头了。
提起数学，我们很多人只会枯燥乏味或者复杂深奥。其实，数学里也有美学。
我国著名数学家华罗庚说过，“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”
数学之美，蕴涵在生活的方方面面，尤其是在艺术当中。
02
有这么一位数学教授，把她发现艺术里的数学之美对我们娓娓道来。
梁进教授在她的这本《博物馆艺术拾珍：收敛篇》里，带我们走进世界四大著名博物馆，去领略绘画、雕塑里的数学之美。
其实，从这本书标题中的“收敛”二字，我们就可以窥得几分数学的影子。 收敛这个词来自于数学当中的微积分，大意是指会聚于一点，向某一值靠近。 与之对应的数学当中的另一个名词叫做“发散”。
《博物馆艺术拾珍：收敛篇》选择了世界四大综合博物馆以及一些历史特色明显的博物馆，包括但不限于著名的“卢浮宫博物馆”“大英博物馆”“埃及博物馆”“梵蒂冈博物馆”等，尤其是很具有历史和相关博物馆记忆的作品。
03
有的时候，我们觉得艺术美，恰恰是因为里面涵盖的数学元素。
大家耳熟能详，并且出现在很多人初中课本当中的一定有这条—— 美的起源：黄金分割比例。
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值， 比值约为0.618， 这个比例被公认为是最能引起美感的比例。
在古希腊时期，有一天数学家毕达哥斯拉走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。
后来，古希腊数学家欧多克索斯将这一比例进行系统研究，其研究结果被写进欧几里得的著作《几何原本》里，至今广为流传。
而画家们也发现，按0.618:1来设计的比例，画出的画最优美。因此，黄金分割的数学美学在很多著名的艺术品中被使用过。
在达芬奇的作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了黄金分割。
古希腊的著名雕像断臂维纳斯和太阳神阿波罗都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618。
建筑师们也对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院、埃菲尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹。
04
数学之美，也同样体现在几何图形当中。
毕达哥拉斯说：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种图形在任何方向上看都是对称的。
其实在我们身边随处可见根据对称设计的东西：小到一块橡皮、一只球拍，大到一架飞机、一座建筑。
著名的北京人民大会堂，高耸入云的上海东方电视塔，形象逼真的扇形，梅花瓣样的组合图形，铜钱式的圆中方，美丽的“雪花”图案，都显示出几何图形的对称美，和谐美。
梵高的《星空》，印象派的画风让这幅图显得绮丽迷幻，然而浪漫之下，安宁夜空仿佛剧烈流动的浓艳色彩，被人们渐渐证明，其抽象的“湍流”，非常符合著名的“柯尔莫哥洛夫微尺度”。
05
就连看起来无趣乏味的数学方程，也有其艺术之美。
比如， 心形线方程。
在威廉布莱克的画作《雅各布之梦》（也叫《雅各布天梯》）中也体现了数学模型之美。
这幅画讲的是布莱特的弟弟罗伯特死的时候，悲痛的布莱克看见他弟弟的灵魂穿过屋顶冉冉上升，“欢乐地拍着手”，他得到灵感将圣经旧约里雅各布做梦登天梯的故事画出来。
不同于其他许多天梯是直上直下的画， 布莱特的天梯是意味深长地螺旋上升的，形成一个三维圆锥螺旋线。 整个画面很数学。
06
数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学。
它的特点是精密性，广泛性，抽象性。
艺术中涵盖着数学，就像数学和艺术分别是两个集合，但两者并不是并集的关系，而是交集的关系。
“美术的结构是数学的，数学的表达是艺术的。”
当我们还在思考文理之间的界限时，先行者们恐怕很早就预料到，知识的相通才是使艺术得以长存的诀窍。
看完这本书，或许你可以试着用新眼光重新去审视那些艺术品：达芬奇《维特鲁威人》中暗含的黄金人体比例，伦勃朗笔下呈现自然界“正态分布”的群像，莫奈《睡莲》中体现出来自然界的函数映射......
就像梁进教授所说的：“我从数学角度分享一些对博物馆珍品的感想，怕数学的读者也不用怕，我不会用数学公式轰炸读者，只是用数学思想和观点从另一个角度去欣赏艺术，畅游博物馆，或许会产生不一样的效果。”
数学之美总结
1.信息度量
信息就是不确定性的多少，信息就是要减少不确定性；
熵: 信息的混杂程度，越大，信息越杂，越不纯；
条件熵: 一个信息确定的条件下，另外一个信息不确定度的减少量；
互信息: 在一个信息的条件下，为了是另外一个信息不确定度减少所需要提供的信息量；
相对熵: 衡量两个函数值为正数的函数的相关性。
2.指纹信息
指纹: 每段信息包括文字，图片，音频，等都可以对应一组不太长的随机数
伪随机数:压缩
基于加密的伪随机数:密码
集合的判定，文章，网页的判定，视频的判定
指纹可能重复，但可能性很小
相似哈希:词，权重，指纹，二进制的结合(提供了一种思路)
3.最大熵模型
最大熵原理: 保留全部的不确定性，让风险降到最小；
最大熵模型: 在所有满足约束条件的模型中选出熵最大的模型；
模型学习: 任何一组不自相矛盾的信息，最大熵模型存在并且唯一，都具有相同的形式，指数形式；
特点: 能同时满足成千上万的中不同条件的模型(有效的组合很多特征)
参数训练: 对数似然函数求极大
4.期望最大
如果模型的变量都是观测变量，用极大似然估计或贝叶斯估计
如果存在隐含变量，用EM迭代，最大后验概率
典型:kmeans聚类，隐马的参数训练，最大熵模型的训练
特点: 局部最优，计算速度慢
5.散列表与布隆过滤器
散列表的核心:哈希函数hashcode(),equals()函数；
散列表的特点:时间复杂度o(1),浪费空间，冲突；
布隆过滤器核心: 一组二进制数和随机映射函数；
布隆过滤器的特点: 时间复杂度o(1)，节约空间，到存在错误率
6.文本分类
相似性: 余弦定理，距离
方法: k近邻思想，自底向上的两两合并，EM迭代，奇异值分解；
技巧: 计算时存储重复计算的变量，只考虑非零元素，删除虚词
余弦定理和奇异分解:余弦定理多次迭代，计算量大，消耗资源多；svd无需多次迭代，时间短，但存储空间需求大，适合超大规模分类；建议svd粗分类，余弦定理细分类
TF-IDF解决两个重要问题:词的预测能力越强，权重越大；停止词的权重为零
7.隐马尔可夫
马尔可夫假设: t时刻的状态只取决于t-1时刻
马尔可夫链: 状态链
隐马模型: 初始概率分布，状态转移概率分布，观测概率分布(马尔可夫假设，观测独立)
3个问题:
参数估计-baum-uelch算法
计算概率-直接，前向，后向算法
预测状态-维特比算法(动态规划)
8.贝叶斯网络
是马尔可夫链的推广(链状-拓扑)
又称信念网络: 弧+可信度
训练: 结构和参数训练，交叉进行
方法: 贪心算法，蒙卡，互信息
9.条件随机场
特点:观测值可能和前后的状态都有关
条件随机场是无向图，贝叶斯网络是有向图
核心:找到符合所有边缘分布的最大熵模型
10.有限状态机和动态规划
有限状态机: 开始，终止状态，有向弧，条件
常见: 建立状态机，已知状态机匹配字符串
区别: 基于概率的有限状态机和离散马尔可夫链等效
动态规划: 把全程路径最短锁定到局部路径最短
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1.从上古时期的结绳，八卦，九九乘法表到中古时期（约汉朝）数学已经在中国发展起来并有一定的基础。历史上已有可考证的著作，祖冲之的圆周率比西方早1000多年，各种算法著作如解方程、平面立体形的计算、等差等比等问题……更难能可贵的是建立了数学教育制度。 2.到了唐至宋期间，特别是唐朝可以说是数学的黄金年代，数学得到了更近一步的发展，几何、代数达到了新的高峰，其中有系统的代数学已建立起来，更多的数学方法与数学概念也得到更进一步的推广与发展。 3.到了近世纪也就是明清时期，中国算数开始衰落，由于中国算数的系统不够简明，中国数学陷入了停滞的阶段。于此同时西方国家的数学发展进入了一个新阶段。 4.针对曲线作为微积分的主要研究对象发生转折，欧拉则第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。正由于这些学者们大胆创新的精神，微积分显示出它独一无二的作用，以微积分作为粘连剂，数学与力学开始结合，几何与代数开始结合。以微积分作为推动力，概率论得到进一步发展，数学教育得到发展。 5.到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题； 6.自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。 7.十九世纪数学突破分析学独占主导地位的局面，几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。仅在十九世纪的前30多年中，一批二三十岁的年轻数学家就在数论、射影几何、复变函数、微分几何、非欧几何、群论等领域作出开创性的成绩。
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